Wenn man im Rahmen seiner Tätigkeit als Gemeindevertreter*in eine Anfrage an das Amt, den Kreis oder auch an die Stadt/Gemeinde stellt, wie lange kann sich die jeweilige Behörde damit Zeit lassen darauf zu antworten?
Ich freue mich über eure Antworten. 
Da gibt’s meines Wissens nach keine allgemeine Frist, sowas legen die Gemeinde in Hauptsatzung/Geschäftsordnung selbst fest - würde mich hier aber nicht drauf festigen, SH ist nicht mein Bereich 
Die Kommunalverfassung sieht, genau wie die Landesverfassung, in Schleswig-Holstein hierzu keine Regelungen vor. Es wird im Verfassungsrecht lediglich das Auskunftsrecht der Abgeordneten verankert.
Selbst auf Landesebene (im Landtag) gibt es keine fixen Fristen. Vielmehr ist durch die Geschäftsordnung geregelt, was passiert, wenn eine Anfrage nicht innerhalb gewisser (gesetzlich nicht normierter!) Zeiträume erledigt wird. Diese bindet aber nur das jeweilige Verfassungsorgan, nicht aber die Regierung oder Verwaltung.
Da es keine fixe Regelung gibt, muss man sich die Angemessenheit einer Antwortdauer im Einzelfall anschauen und ggf. verfassungsrechtlich (oder verwaltungsgerichtlich, falls der Verfassungsrechtsweg nicht eröffnet ist) gegen ausufernde Bearbeitungszeiten vorgehen.
Vielen Dank für deine Antwort.
Aber auch wenn es keine fixen Fristen für Abgeordnete/Gemeindevertreter gibt, sollten dann ja die Fristen gelten, die für die Bürger*innen gelten - d.h. max. 4 bzw. 8 Wochen (s. IZG). Oder? 
Dafür müsste es explizit als eine solche Anfrage (bzw. eher Antrag) gestellt werden.